Arbeitsbuch Grundwissen Mathematikstudium - Analysis Und Lineare Algebra Mit Querverbindungen: Aufgaben, Hinweise, Lösungen Und Lösungswege [German]

Vorwort.- 1 Was ist Mathematik und was tun Mathematiker?- 2 Logik, Mengen, Abbildungen - die Sprache der Mathematik.- 2.1 Junktoren und Quantoren.- 2.2 Grundbegriffe aus der Mengenlehre.- 2.3 Abbildungen.- 2.4 Relationen.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 3 Algebraische Strukturen - ein Blick hinter die Rechenregeln.- 3.1 Gruppen.- 3.2 Homomorphismen.- 3.3 K?rper.- 3.4 Ringe.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 4 Zahlbereiche - Basis nicht nur der Analysis.- 4.1 Reelle Zahlen.- 4.2 K?rperaxiome f?r die reellen Zahlen.- 4.3 Anordnungsaxiome f?r die reellen Zahlen.- 4.4 Ein Vollst?ndigkeitsaxiom f?r die reellen Zahlen.- 4.5 Nat?rliche Zahlen und vollst?ndige Induktion.- 4.6 Ganze Zahlen und rationale Zahlen.- 4.7 Komplexe Zahlen: Ihre Arithmetik und Geometrie.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 5 Lineare Gleichungssysteme - Grundlage der linearen Algebra.- 5.1 Erste L?sungsversuche.- 5.2 Das L?sungsverfahren von Gau und Jordan.- 5.3 Das L?sungskriterium und die Struktur der L?sung.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 6 Vektorr?ume - von Basen und Dimensionen.- 6.1 Der Vektorraumbegriff.- 6.2 Beispiele von Vektorr?umen.- 6.3 Untervektorr?ume.- 6.4 Basis und Dimension.- 6.5 Summe und Durchschnitt von Untervektorr?umen.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 7 Analytische Geometrie - Rechnen statt Zeichnen.- 7.1 Punkte und Vektoren im Anschauungsraum.- 7.2 Das Skalarprodukt im Anschauungsraum.- 7.3 Weitere Produkte von Vektoren im Anschauungsraum.- 7.4 Abst?nde zwischen Punkten, Geraden und Ebenen.- 7.5 Wechsel zwischen kartesischen Koordinatensystemen.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 8 Folgen - der Weg ins Unendliche.- 8.1 Der Begriff einer Folge.- 8.2 Konvergenz.- 8.3 H?ufungspunkte und Cauchy-Folgen.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 9 Funktionen und Stetigkeit - ε trifft auf δ.- 9.1 Grundlegendes zu Funktionen.- 9.2 Beschr?nkte und monotone Funktionen.- 9.3 Grenzwerte f?r Funktionen und die Stetigkeit.- 9.4 Abgeschlossene, offene, kompakte Mengen.- 9.5 Stetige Funktionen mit kompaktem Definitionsbereich, Zwischenwertsatz.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 10 Reihen - Summieren bis zum Letzten.- 10.1 Motivation und Definition.- 10.2 Kriterien f?r Konvergenz.- 10.3 Absolute Konvergenz.- 10.4 Kriterien f?r absolute Konvergenz.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 11 Potenzreihen - Allesk?nner unter den Funktionen.- 11.1 Definition und Grundlagen.- 11.2 Die Darstellung von Funktionen durch Potenzreihen.- 11.3 Die Exponentialfunktion.- 11.4 Trigonometrische Funktionen.- 11.5 Der Logarithmus.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 12 Lineare Abbildungen und Matrizen - Br?cken zwischen Vektorr?umen.- 12.1 Definition und Beispiele.- 12.2 Verkn?pfungen von linearen Abbildungen.- 12.3 Kern, Bild und die Dimensionsformel.- 12.4 Darstellungsmatrizen.- 12.5 Das Produkt von Matrizen.- 12.6 Das Invertieren von Matrizen.- 12.7 Elementarmatrizen.- 12.8 Basistransformation.- 12.9 Der Dualraum.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 13 Determinanten - Kenngr? en von Matrizen.- 13.1 Die Definition der Determinante.- 13.2 Determinanten von Endomorphismen.- 13.3 Berechnung der Determinante.- 13.4 Anwendungen der Determinante.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 14 Normalformen - Diagonalisieren und Triangulieren.- 14.1 Diagonalisierbarkeit.- 14.2 Eigenwerte und Eigenvektoren.- 14.3 Berechnung der Eigenwerte und Eigenvektoren.- 14.4 Algebraische und geometrische Vielfachheit.- 14.5 Die Exponentialfunktion f?r Matrizen.- 14.6 Das Triangulieren von Endomorphismen.- 14.7 Die Jordan-Normalform.- 14.8 Die Berechnung einer Jordan-Normalform und Jordan-Basis.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 15 Differenzialrechnung - die Linearisierung von Funktionen.- 15.1 Die Ableitung.- 15.2 Differenziationsregeln.- 15.3 Der Mittelwertsatz.- 15.4 Verhalten differenzierbarer Funktionen.- 15.5 Taylorreihen.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- 16 Integrale - von lokal zu global.-