Differenzenapproximationen Partieller Anfangswertaufgaben [German]

1956 ver ffentlichten Lax und Richtmyer 6 eine Arbeit, in der unter Benutzung funktionalanalytischer Hilfsmittel die Struktur des Konvergenzverhaltens von Differenzapproximationen f r eine gro e Klasse linearer Anfangswertaufgaben bei partiellen Differential- gleichungen aufgekl rt werden konnte. Insbesondere konnte der Satz ber die quivalenz der numerischen Stabilit t mit der punktweisen Konvergenz eines mit der gegebenen Anfangswertaufgabe konsistenten Differenzenverfahrens weitestgehend unabh ngig von dem der Aufga- benstellung zugrundeliegenden normierten Raum und unabh ngig vom Typ der approximierten Aufgabe formuliert werden. Zugleich ergab sich, da unter gewissen Voraussetzungen neben den klassischen L - sungen der gegebenen Anfangswertaufgabe auch deren verallgemeiner- te L sungen durch das Differenzenverfahren approximierbar sind, wenngleich Fehlerabsch tzungen oder auch nur Angaben ber die Kon- vergenzordnung im Falle verallgemeinerter L sungen zun chst aus- blieben. In den seither vergangenen zwei Jahrzehnten wurden mit Erfolg zahl- reiche Versuche unternommen, diese Lax-Richtmyer-Theorie in ver- schiedenen Richtungen zu erg nzen und zu verallgemeinern. Dabei zeigte sich insbesondere, da die punktweise Konvergenz der ite- rierten Differenzenoperatoren bei der Approximation nichtlinearer Differentialgleichungen in der Regel nicht ausreicht, um die nume- rische Brauchbarkeit eines Verfahrens zu gew hrleisten, jedoch ge- lang es, auch bei entsprechend verfeinerten Konvergenzbegriffen un- ter Verwendung geeigneter Stabilit tsdefinitionen quivalenzs tze aufzustellen und damit die Lax-Richtmyer-Theorie einschlie lich der aus ihr f r konkrete Probleme in den Anwendungsgebieten resultie- renden Forderungen auf solche nichtlinearen Probleme zu erweitern. Naturgem spielte dabei die Frage der Existenz und der numerischen Erfa barkeit verallgemeinerter L sungen nichtlinearer Probleme ei- ne nicht unerhebliche Rolle.