Konvergenz von Krylov-Verfahren für Eigenwertprobleme [German]

Diplomarbeit aus dem Jahr 1998 im Fachbereich Mathematik - Angewandte Mathematik, Note: sehr gut, Eberhard-Karls-Universit?t T?bingen (Mathematische Fakult?t), Sprache: Deutsch, Abstract: Eigenwerte von Matrizen zu berechnen ist ein Problem, das h?ufig in naturwissenschaftlich-technischen Anwendungen auftritt. In der Theorie kann man mit Hilfe von Eigenwerten unter anderem Aussagen ?ber die Stabilit?t von dynamischen Systemen machen. Au erdem spielen sie in der Stochastik, z.B. bei Markov-Ketten (?bergangswahrscheinlichkeiten, Brownsche Bewegung), eine wichtige Rolle. Nun einige Beispiele aus praktischen Anwendungen: - in der Physik bei Schwingungsproblemen - in der Chemie bei Verbrennungsprozessen - in der Makro?konomie bei der ?berpr?fung von Marktstabilit?t - in der Biologie bei Populationsmodellen Die hierbei auftretenden Fragen bzw. Aufgaben sind z.B.: Wie berechnet man - alle Eigenwerte und/oder alle Eigenvektoren f?r eine kleine Matrix (bis 10 3*10 3)? - einen Eigenwert und/oder den zugeh?rigen Eigenvektor (betragsgr? ter, -kleinster, mit gr? tem Realteil, ...)? - einige wenige Eigenwerte und gegebenenfalls die zugeh?rigen Eigenvektoren? - einen Eigenvektor zu einem bekannten Eigenwert (Markov-Ketten) Bei kleinen Matrizen, das hei t Matrizen der Gr? enordnung bis etwa 10 3*10 3, k?nnen diese mittels Householder-Transformationen auf Hessenberg-Form bzw. im hermiteschen Fall auf Tridiagonal-Form zur?ckgef?hrt werden. Dann kann man z.B. mit der QR-Zerlegung die gew?nschten Eigenwerte und/oder die zugeh?rigen Eigenvektoren berechnen. In dieser Arbeit sollen Matrizen in der Gr? enordnung 10 3*10 3 bis 10 6*10 6 betrachtet werden. Da die erw?hnten Standard-Algorithmen einen zu hohen Rechen- und Speicheraufwand verursachen, versucht man mittels Projektionsverfahren dieses gro e Problem auf ein kleines zu reduzieren, um darauf die Standardtechniken wieder anwenden und somit einen Teil des Spektrums approximieren zu k?nnen. Diese Arbeit hat die "Konvergenz von Kry