Petrov-Galerkin-Finite-Elemente-Methoden zur Zeitdiskretisierung parabolischer partieller Differentialgleichungen [German]

Bachelorarbeit aus dem Jahr 2014 im Fachbereich Mathematik - Sonstiges, Note: 1,3, Technische Universit t M nchen (Zentrum Mathematik), Sprache: Deutsch, Abstract: Die Finite-Elemente-Methode hat ihren Ursprung in den 1950er Jahren, als Ingenieure erstmals die Methoden der Analysis mit der Variationsrechnung der Kontinuumsmechanik kombinierten. Mitte der 1960er erschienen unabh ngig voneinander mehrere Publikationen, die sich mit der Konstruktion und Analysis von Finite-Differenzen-Schemata f r elliptische Probleme mithilfe von Variationsmethoden besch ftigten. Zu nennen sind hier C a, Demjanovic, Feng, Friedrichs und Keller und Oganesjan und Ruchovets. Aus dem Studium stetiger Approximationsfunktionen entwickelte sich schlie lich die Theorie der Finiten Elemente. Allgemeines zur Mathematik der Finiten Elemente f r elliptische Probleme findet sich z.B. bei Babuska und Aziz, Strang und Fix, Ciarlet sowie Brenner und Scott. Die Entwicklung einer entsprechenden Methode f r parabolische Probleme begann um 1970, als die Finite-Differenzen-Analysis f r derartige Probleme bereits weit fortgeschritten war. Diese Bachelorarbeit ist das Ergebnis meiner Independent Studies des akademischen Jahres 2014 am Lehrstuhl f r Optimale Steuerung der TU M nchen. Nach dieser kurzen Einleitung werde ich einen Einblick in die zeitliche Galerkin-Diskretisierungsmethode parabolischer Differentialgleichungen sowie Theorie und Analysis linearer Probleme geben. Das Hauptaugenmerk dieser Arbeit liegt allerdings auf effzienten numerischen Realisierungen des titelgebenden Verfahrens, die im Anschluss an die Theorie pr sentiert werden. F r weitergehende Fehlerabsch tzungen und Stabilit tsaussagen der Galerkin-Verfahren f r parabolische Probleme sei auf Thom e verwiesen. Als Standardwerke f r die mathematische Theorie elliptischer und parabolischer Differentialgleichungen m chte ich noch Evans, sowie Lions und Magenes und Friedman nennen.