Théories Spectrales: Chapitres 3 À 5 [French]

Les ?l?ments de math?matique de Nicolas Bourbaki ont pour objet une pr?sentation rigoureuse, syst?matique et sans pr?requis des math?matiques depuis leurs fondements.

Ce second volume, in?dit, du Livre consacr? aux Th?ories spectrales a pour th?me les propri?t?s spectrales des applications lin?aires.

Le chapitre 3 ?tudie les applications lin?aires compactes entre espaces vectoriels topologiques et la th?orie de la perturbation par addition d'une application lin?aire compacte, en particulier la th?orie de Fredholm. Il se poursuit par la description du spectre d'un endomorphisme compact d'un espace de Banach, notamment les notions de spectre sensible et de spectre essentiel. On y d?montre le th?or?me de Krein--Rutman.

Le chapitre 4 contient les r?sultats fondamentaux de la th?orie spectrale hilbertienne: op?rateurs compacts et nucl?aires, endomorphismes normaux, op?rateurs partiels normaux. On y trouve ?galement un expos? concis des distributions et distributions temp?r?es.

Enfin, le chapitre 5 aborde l'?tude des repr?sentations unitaires des groupes topologiques (constructions ?l?mentaires, lemme de Schur, repr?sentations de carr? int?grable modulo le centre, classes de repr?sentations irr?ductibles). On y d?veloppe aussi la th?orie des fonctions de type positif et on y d?montre le th?or?me fondamental de Peter--Weyl.

Le texte est compl?t? par de nombreux exercices et par une note historique portant sur le contenu des chapitres 1 ? 5.